Schaltungstechnik: Reihen- und Parallelschaltung Widerstände

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Schaltungstechnik: Reihen- und Parallelschaltung Widerstände

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Elektronik

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Widerstand

Im vorherigen Kapitel haben wir uns mit den Batterien beschäftigt, jetzt wird es eine Nummer kleiner. Wir beschäftigen uns jetzt mit den Widerständen und ihrem Verhalten in Reihen- und Parallelschaltung.

 

Reihenschaltung Widerstände

 

Die Formel ist ganz einfach: Wir haben eine Anzahl von n-Widerständen. Somit ist  Rges gleich die Summe der Einzelwiderstände der Reihe Rn.

Rges = R1 + R2 + . . . + Rn

Beispiel:
Widerstände Reihenschaltung

Haben wir 3 Widerstände mit jeweils 2 x 220 Ω und 1 x 1.000 Ω, so ist der Gesamtwiderstand der Reihe 1.440 Ω, denn es gilt folgende Formel:

Rges = R1 +R2 + R3,  oder ausgedrückt mit Zahlen
Rges = 220 Ω + 1.000 Ω + 220 Ω = 1.440 Ω aufgerundet 1.500 Ω

Bauen wir beispielsweise eine Schaltung, in der wir einen 220 Ω-Widerstand benötigen und findet sich solch einer nicht (mehr) in unserem Sortiment, dafür aber 2 * 100 Ω und 2 * 10 Ω, so könnten wir nun diese vier Widerstände in Reihe schalten und haben genau unsere 220 Ω abzgl. der prozentualen Toleranzen des jeweiligen Widerstands.

Stromstärke I (Ampere) berechnen

Die Stromstärke (A) Iges , die mehrere Widerstände der Reihe durchfließt ist an allen Punkten der Reihe gleich groß.
Die Formel hierfür lautet:

Iges = I1 = I2 = I3 = . . . = In

Nehmen wir unser obiges Beispiel und klemmen eine Batterie an die Reihe der Widerstände. Wenn wir nun unser Multimeter auf Stromstärkenmessung stellen (uA, mA, A) und den Stromkreis an den markierten Punkten auftrennen und unser Multimeter dazwischenhängen, zeigt uns unser Gerät die Stromstärke an.
Im Beispiel haben wir hier an jedem Messpunkt I1, I2 und I3 eine Stärke von 0,004 A vorliegen. Somit sehen wir, dass überall der gleiche Wert anliegt.

 

Rehenschaltung Ampere

 

Ist der oder die Widerstandswerte R einer Reihenschaltung bekannt – in unserem Falle ist das 220 Ω und 1000 Ω – kann man mit der genannten Formel und dem Ohmschen Gesetz auf die am Widerstand anliegende Spannung (U (Volt)), beziehungsweise auf die Stromstärke (I (Ampere)) berechnet werden die durch den Widerstand fließt.

Rechnen wir dies mal nach. Die Formel, um die Spannung auszurechnen lautet:

U = Rn * Iges

Für unser Beispiel haben wir R1, R3 = 220 Ω, R2 = 1.000 Ω und Iges = 0,004 A

U1+3 = 220 * 0,004 = 0,88 V
U2 = 1000 * 0,004 = 4 ,00V
Uges = 0,88 + 0,88 + 4,00 = 5,76 V

Wollen wir nun I , also die Stromstärke in Ampere ausrechnen, verwenden wir wieder das ohmsche Gesetz und stellen die Formel wie folgt um:

    \[ \boldsymbol{\it  I = I_g_e_s =\frac{U_g_e_s} {R_g_e_s}} \]

    \[ \boldsymbol{ I = I_g_e_s =\frac{5,76 V} {1440  Ohm} = 0,004 A} \]

 

Spannung U (Volt) berechnen

Die anliegende Gesamtspannung Uges einer Reihenschaltung teilt sich in n Teilspannungen auf U1, U2, usw.
Die Gesamtspannung ist gleich die Summe der einzelnen Teilspannungen und es gilt folgende einfache Formel:

Uges = U1 + U2 + U3 + . . . + Un

Übernehmen wir die Werte aus unserem Beispiel, können wir ermitteln, wieviel Volt die Batterie hat, die an der Reihe angeklemmt ist.

 

Reihenschaltung Volt

 

Uges = 0,89 + 4,28 + 0,89 = 6,06 V

Somit bestätigen wir mit der Spannungsmessung auch den mit der Formel errechneten Wert aus „Stromstärke I (Ampere) berechnen“.
Durch Toleranzen in den Widerständen können sich pro Teilspannung U die Werte nach dem Komma leicht verändern. Natürlich auch, wenn während der Messungen von Stromspannung und Stromstärke die Ladung der Batterie abnimmt. 5,76V <-> 6,06 V

 

Fazit: In einer Reihenschaltung bleibt die Stromstärke I (Ampere) gleich. Die Stromspannung (V) teilt sich an jeder Teilspannung entsprechend auf.
In Reihe geschaltete Werte der Widerstände summieren sich. Somit ist es möglich, dass man eine Reihe auch durch einen in der Summe größeren Widerstand eintauschen kann. Das Gleiche gilt natürlich auch umgekehrt, sprich, brauche ich einen großen Widerstand und komme mit ein paar anderen auf den erforderlichen Wert, so kann ich diese in Reihe schalten.
Durch den kleinsten Widerstand fließt die kleinste Spannung.

 

 

Parallelschaltung Widerstände

 

Werden n Widerstände parallel geschaltet, addieren sich die Kehrwerte der einzelnen Widerstände.

Die Formel hierfür sieht komplizierter aus, als sie ist:

    \[ \boldsymbol{ R_g_e_s = \frac{1} {\frac{1} {R_1} + \frac{1} {R_2} + \frac{1} {R_3} + . . . +  \frac{1} {R_n}} } \]

Beachte: Der Gesamtwiderstand Rges im Ergebnis ist immer kleiner, als der kleinste Einzelwiderstand Rn.

Beispiel 1:

Wir haben drei Widerstände wieder mit jeweils 2 x 220 Ω und 1 x 1000 Ω parallel geschaltet. Also sieht unsere Formel wie folgt aus:

    \[ \boldsymbol{ R_g_e_s = \frac{1} {\frac{1} {220} + \frac{1} {1000} + \frac{1} {220}} =  99,09 Ohm } \]

1 : ( (1 : 220) + (1 : 1000) + (1 : 220) ) = 99,09 Ohm ist der Gesamtwiderstand

 

Beispiel 2:

Nehmen wir an, wir haben parallel einen 1kΩ, 10Ω und einen 4,7kΩ-Widerstand. (Wir konvertieren alle kΩ-Widerstände auf Ω, in dem wir sie mit 1000 multiplizieren)

    \[ \boldsymbol{ R_g_e_s = \frac{1} {\frac{1} {1000} + \frac{1} {10} + \frac{1} {4700}} =  9,88 Ohm } \]

1 : ( (1 : 1000) + (1 : 10) + (1 : 4700) ) =  9,88 Ohm

Bleiben wir mal bei unserem Beispiel und gehen mal den umgekehrten Weg:
Einen 9,88 Ω-Widerstand gibt es nicht, also nehmen wir den nächst höheren Wert von 10 Ω.
Solch einer muss in unsere Schaltung, aber so einen haben wir nicht. Wir haben aber noch ein paar 30 Ω Widerstände.

Also rechnen wir einfach wie folgt:

    \[ \boldsymbol{ R_a_n_z = \frac{R} {R_g_e_s} } \]

    \[ \boldsymbol{ R_a_n_z = \frac{30} {10} = 3 Stück } \]

Verwenden wir unsere Formel von oben, so können wir unsere Rechnung überprüfen:

1 : ( (1 : 30) + (1 : 30) + (1 : 30) ) =  10 Ohm

Alternativ könnten wir zum Beispiel auch 10 Stück á 100 Ohm-Widerstände parallel schalten. Das Ergebnis wäre das gleiche.
Auch können wir natürlich verschiedene Werte miteinander kombinieren um auf unsere 10 Ohm zu kommen.

Ob das sinnvoll ist, hängt vom Einsatzgebiet ab. Da wir ja bei einer Parallelschaltung die Stromstärke auf mehrere Widerstände verteilen, im Gegensatz zur Reihenschaltung, wo wir die Spannung auf mehrere Widerstände verteilen, macht das gerade dann Sinn, wenn man die erlaubte Verlustleistung eines Widerstands erhöhen will oder muss.
Widerstände werden ja bspw. mit 1/6 W, 1/4 W, 1/2 W, usw. angegeben. Das sind die Verlustleistungen, sprich die maximale Stromstärke die das Bauteil in Wärme umproduziert. Ein Standard-Widerstand mit 1/4 Watt kann also 250 mW in Wärme umwandeln, wird dabei aber verdammt heiß und sollte natürlich dauerhaft nicht so betrieben werden.
Kühlen wäre eine Möglichkeit, eine andere wäre , einen 1/2 Watt Widerstand zu nehmen, der schon 500 mW aushält, oder aber man verteilt die Last einfach auf mehrere parallel geschaltete Widerstände. (Verlustleistung berechnen werden wir in einem eigenen Thema.)
Allerdings gilt hier zu berücksichtigen, dass ein gebündeltes Feld voller Teilwiderstände nicht wirklich kühlt 🙂 Abstand muss dann mit einkalkuliert werden.

Im Gegensatz zur Reihenschaltung sind die Formeln für Stromstärke berechnen und Spannung berechnen umgedreht. Aber schauen wir uns das genau an:

 

Stromstärke I (Ampere) berechnen

Die Stromstärke (A) Iges , teilt sich in n Teilstromstärken auf und kann mit folgender Formel berechnet werden:

Iges = I1 + I2 + I3 + . . . + In

 

Parallelschaltung Ampere

 

Prüfen wir mit unserem Multimeter und der Stromstärkenmessung an den In-Punkten der Schaltung, so sehen wir, dass sich die Spannung in Relation zum Widerstand aufteilt. Durch den kleinsten Widerstand fließt der meiste Strom. (Diese Widerstände werden dann natürlich auch heißer, als die, wo der wenigste Strom durchfließt.)

 

Spannung U (Volt) berechnen

An allen Widerständen einer Parallelschaltung liegt die gleiche Spannung an. Diese ist gleich der Gesamtspannung.
Daher gilt folgende Formel:

Uges = U1 = U2 = U3 = . . . = Un

Parallelschaltung Volt

Uges = 3,54 V

 

Ist der Widerstandswert eines Widerstands aus der Parallelschaltung bekannt, dann kann man auch hier mit dem ohmschen Gesetz auf die am Widerstand Rn Spannung und/oder die durch ihn fließende Stromstärke berechnet werden. Das sieht dann wie folgt aus:

U = Uges  (Spannung berechnen – hatten wir ja eben)

    \[ \boldsymbol{\it  I = \frac{U_g_e_s} {R} } \]

Nehmen wir noch einmal unsere Parallelschaltung und überprüfen wir rechnerisch die Messergebnisse mit der letzten Formel:

Parallelschaltung Ampere

    \[ \boldsymbol{\it  I_1_+_3 = \frac{3,54 V} {220} = 0,01609 A } \]

    \[ \boldsymbol{\it  I_2 = \frac{3,54 V} {1000} = 0,00354 A } \]

Abzüglich der Toleranzen passt die Formel bzw. unsere Messung.

 

Fazit: In einer Parallelschaltung ist die Spannung überall gleich groß und der Gesamtstrom  ist so groß wie die Summe der Teilströme der Widerstände.
Die Stromstärken verhalten sich unmgekehrt wie die Widerstände der Parallelschaltung. Durch kleinere Widerstände fließt der größere Strom.
Der Gesamtwiderstand in einer Parallelschaltung ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Natürlich kann man auch beide Varianten miteinander kombinieren. Alle notwendigen Formeln habt Ihr auf dieser Seite.

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